就在格里高利步步紧逼时，艾拉的运算初步得到了结果。
“大师……我没办法按你的要求画出图形。要让面积变为两倍，也就是说新的正方形边长的乘积为二。由于正方形边长相等，也就是说这个数自身和自身的乘积为二。我本想计算一下这是一个什么样的数字……但我算不出来。”
戈特弗里德正为格里高利接连不断的问题发难，艾拉的这句话正好给了他一个岔开话题的机会。他忙不迭地说到：“你是怎么运算的？”
“我参照了你画在门口的那个图形。你利用两个多边形夹逼的方法来计算圆的面积，我也就利用了同样的方法，首先得出这个数介于三分之四和二分之三之间,然后继续寻找二者之间的分数……但不论我怎么寻找，我都没法找出这个数字是什么。”
艾拉的话也吸引了格里高利的注意。他抛下对亚伯拉罕古教会的追究，在一旁说道：“会不会只是你计算的不够深入？”
“不，为此我还特地证明了一下，然后发现……这个数根本不可能存在。”
戈特弗里德的眼中闪过了一道光：“哦？说说你的证明过程。”
“首先，第一个公理，任何一个整数乘于二，都将变为偶数,对吧？”
格里高利在一旁点了点头：“没错,这是不言而明的公理。”
“其次，第二个公理，偶数的平方是偶数，奇数的平方是奇数，也没错吧？”
“不言而喻。”
“那么，我假设这一个数最简单分数表现形式为a/b，它的平方为2，也就是说（axa）/（bxb）=2，换句话说，2（bxb）=（axa）。根据第一个公理，（axa）将是一个偶数，再根据第二个公理，a也是一个偶数。”
“完全正确。”
“既然a是一个偶数，那么a必定可以除于2，得到另一个整数，对么？”
“当然。”
“我们把这个整数用s表示。那么a就等于2s。代入之前那个公式,就变成了2（bxb）=（2sx2s）=4（sxs），化简之后就是（bxb）=2（sxs）。根据第一个公理,（bxb）将是一个偶数，再根据第二个公理，b是一个偶数。”
“哦，a和b都为偶数，真是神奇的发现。可这又能说明什么呢？”
“不要忘了，我们开头设定着a/b是这个数的最简分数表示形式！如果a和b都是偶数，那么他们必能同除于二，那就不再是最简！可即便我们设定了新的数c、d，让他们分别为a、b的二分之一，然后把这个数表示为c/d，也能通过上述的方法再次证明c和d都是偶数！如此划分下去，这一个数将永远不可能有最简的分数表示形式！”
艾拉的话就像是往一潭平静的湖水中投入了一块巨石，让格里高利脸上的每一块肌肉都开始抽动起来。他试着重复了一遍艾拉的证明过程，没有发现任何问题。可这结论却让他无法接受：“你是说，这个数的分子和分母可以无限次地除于二，且保持着自身为整数？这个无限的数……难道是神明的投影么？”
“所以我无法画出这个图形……面积为二的正方形，它的边长……很奇怪。”
“不要再尝试着画了！”格里高利突然暴躁地喊了起来,“奇怪是正常的,因为我们无法理解无限的神明！就让它存在于那里吧，永远不要去丈量它！”
戈特弗里德在一旁听着两人的争论，笑了出来。
“你们知道毕达哥拉斯定理么？”他突然问道。
艾拉和格里高利一起把注意力移到了戈特弗里德身上：“你是说，直角三角形斜边的平方等于两个直角边的平方之和，对么？这是毕达哥拉斯最为著名的定理。为什么要提这个？”
“女孩啊……你在那个边长为一的正方形上画一条对角线。这个对角线的长度为多少？”
艾拉想也没想就画了下去，可线才画到一半，她就停了下来，颤声道：“这根线，它的平方为二？”
“好了，现在，用这根线作为新的正方形的边长，问题解决了么？”
“等一下！停！”艾拉打断了戈特弗里德的话，“……这应该是一个无限的数字