河图包括的数理关系

　　1、等和关系。除中间一组数（5，10）之外，纵向或横向的四个数字，其偶数之和等于奇数之和。

　　纵向数字：7、2；1、67+1=2+6

　　横向数字：8、3；4、98+4=3+9

　　并得出推论：河图中，除中间一组数[5，10]之外，奇数之和等于偶数之和，其和为20。

　　2、等差关系。四侧或居中的两数之差相等。上（7—2）；下（6—1）；左（8—3）；右（9—4）；中（10—5），其差均为5。

　　洛书包含的数理关系

　　1、等和关系。非常明显地表现为各个纵向、横向和对角线上的三数之和相等，其和为15。

　　2、等差关系。细加辨别，洛书隐含着等差数理逻辑关系。

　　①洛书四边的三个数中，均有相邻两数之差为5，且各个数字均不重复。

　　上边[4、9、2]9-4=5

　　下边[8、1、6]6-1=5

　　左边[4、3、8]8-3=5

　　右边[2、7、6]7-2=5

　　显然这个特点与河图一样，反映出洛书与河图有着一定的内在联系。

　　②通过中数5的纵向、横向或对角线上的三个数，数5与其它两数之差的绝对值相等。

　　纵向|5-9|=|5-1|或9-5=5-1

　　横向|5-3|=|5-7|或5-3=7-5

　　右对角线|5-2|=|5-8|或5-2=8-5

　　左对角线|5-4|=|5-6|或5-4=6-5

　　综合以上分析，我们可以清楚地发现，数理关系和对称性是河图洛书图的基本特点，河图洛书包含着基本的自然数之间“和或差”的算术逻辑关系，尽管两者有所差别，但是它们表示的数理关系有相似共同之处，有内在的必然联系。

　　洛书隐含万字符。

　　洛书稍为变化，就可推进万字符：

　　④⑨②

　　③⑤⑦

　　⑧①⑥

　　在万字符结构状态下，洛书隐含的，即不易一眼看出的数理关系，十分清楚地被反映出来，如两数之差为5的四组数；万字符的两个曲臂上，各数之和相等，均为25，等等。换句话说，万字符是对洛书的一种独特的数学解析，并且它反映出洛书与河图在数理方面的内在联系，只要把曲臂外侧拉直，洛书的结构形态就与河图一致。当有了洛书和万字符，把河图省去也可以，因为河图中的数理关系也基本得到了反映。

　　鉴于以上分析，与其说万字符象征着光芒四射的太阳光线，还不如说万字符是洛书的转化形态，一方面，我们无论如何也不能从光线中看出万字符;另一方面，古人因崇拜洛书而敬仰万字符也是说得通的。

　　河图洛书包含算盘的数学原理

　　首先从数学原理看，河图洛书的数理特点与算盘的主要规则相吻合：其一，河图四侧的两数之差均为5，即一个大于5的基本自然数可表示为数5加上一个小于5的自然数，这与算盘珠码中把5颗下珠升作一颗上珠的五升制规则相对应；其二，洛书的纵、横和对角线方向上的三数之和均为15，这与算盘中每档7珠的示值相一致。

　　其次从历史发现看，尽管“操珠运算”的思想历史悠久，但最早记录的成熟算盘是宋初（公元960—1127年）反映人民生活的宏大画卷“清明上河图”，这幅图的左端有一架十五格（档）七个黑点（珠）的大算盘。而河图洛书尽管在先秦时期早有传说，但直到宋初才被世人所知。河图洛书的发现与算盘的产生的历史时间有着惊人的巧合。综上缘由，可以作一猜想，算盘的实物形态起源于珠，算盘的数学原理来自于河图洛书。

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